Quantization and Arithmetic

(12) (4) اجازه دهید؟ می شود منحصر به فرد حتی غیر پیش پا افتاده شخصیت دیریکله مد 12، و اجازه دهید؟ حالت منحصر به فرد (فرد) غیر پیش پا افتاده شخصیت دیریکله باشد. 4. توزیع های m (12) را روی خط در نظر بگیرید؟ d (x) = ? (م)؟ ایکس؟ ، حتی 12 m?Z m (4) d (x)= ? (م)؟ ایکس؟ . (1.1) فرد 2 m?Z 2 i?x تبدیل تحت فوریه، یا زیر ضرب توسط تابعx ? e ، اولین (به عبارت دیگر) دوم از این توزیعها فقط در حدود بیست و چهارمین (مثلاً هشتمین) ریشه وحدت تحت چند برابر شدن قرار می گیرد. سپس، نمایش متاپلکسی Met را در نظر بگیرید، 2 یک نمایش واحد در L (R) از گروه متاپلکتیک G، پوشش دوگانه گروه G = SL(2,R)، که تعریف آن در بخش 2 یادآوری خواهد شد. : به عنوان نمایشی در فضای S (R) توزیع‌های معتدل گسترش می‌یابد. با توجه به آنچه قبلاً گفته شد، اگر g ˜ نقطه ای از G باشد که بالای g قرار دارد؟ G، و اگر d = d زوج g ˜ ?1 یا d، توزیع d =Met(g˜)d فقط به کلاس g در فضای همگن فرد بستگی دارد؟ منظور ما هر عدد مختلط قدر مطلق 1 است که فقط به g ˜ بستگی دارد. از سوی دیگر، یک تابع u?S(R) کاملاً با محصولات اسکالر g ~ در برابر توزیعsd مشخص می شود، زیرا یکی برای برخی از ثابت های مناسب C , C دارای هویت 0 1 g ~ 2 2 | d ,u | dg = C u اگر u زوج باشد، 2 0 زوج L (R) ?\G

(12) (4) Let ? be the unique even non-trivial Dirichlet character mod 12, and let ? be the unique (odd) non-trivial Dirichlet character mod 4. Consider on the line the distributions m (12) ? d (x)= ? (m)? x? , even 12 m?Z m (4) d (x)= ? (m)? x? . (1.1) odd 2 m?Z 2 i?x UnderaFouriertransformation,orundermultiplicationbythefunctionx ? e , the?rst(resp. second)ofthesedistributionsonlyundergoesmultiplicationbysome 24th (resp. 8th) root of unity. Then, consider the metaplectic representation Met, 2 a unitary representation in L (R) of the metaplectic group G, the twofold cover of the group G = SL(2,R), the de?nition of which will be recalled in Section 2: it extends as a representation in the spaceS (R) of tempered distributions. From what has just been said, if g ˜ is a point of G lying above g? G,andif d = d even g ˜ ?1 or d , the distribution d =Met(g˜ )d only depends on the class of g in the odd homogeneousspace?\G=SL(2,Z)\G,uptomultiplicationbysomephasefactor, by which we mean any complex number of absolute value 1 depending only on g ˜. On the other hand, a function u?S(R) is perfectly characterized by its scalar g ˜ productsagainstthedistributionsd ,sinceonehasforsomeappropriateconstants C , C the identities 0 1 g ˜ 2 2 | d ,u | dg = C u if u is even, 2 0 even L (R) ?\G